Trabzon Müzesi (Kostaki Konağı) olarak düzenlenen konak, Zeytinlik Caddesi'nde 1900'lü (1898-1913) yılları başlarında Banker Kostaki Teophylaktos tarafından konut olarak yaptırılmıştır. Konağın mimarlarının İtalyan olduğu belirlenen yapıda kullanılan bir çok malzemenin İtalya'dan getirildiği bilinmektedir. Kostaki Teophylaktos 1917 yılında iflas edince, bu yapıyla birlikte bütün mal varlığına haciz konulmuş ve konak Nemlioğlu Ailesi tarafından satın alınmıştır. 15-17 Eylül 1924 tarihinde Trabzon'u ilk ziyaretinde ulu önder Atatürk eşi Latife Hanım ve beraberindeki heyetle birlikte bu konakta misafir edilmişlerdir.

Trabzon Valisi Ali Galip Bey zamanında 1927-1932 yıllarında 25.000 TL bedelle kamulaştırılarak, 1927-1931 yılları arasında Hükümet Konağı, 1931-1937 yılları arasında müfettişlik binası olarak kullanılmıştır. Ülkemizin sayılı sivil mimarlık örnekleri arasında yer alan konağın bodrum kat hariç tüm kat duvarları tamamen kalem işi süslüdür. 1988-2001 yılları arasında Kültür ve Turizm Bakanlığı'nca restorasyonu tamamlanan konak, 22 Nisan 2001 tarihinde Trabzon Müzesi olarak ziyarete açılmıştır. Konağın bodrum katı Arkeolojik Eserler Seksiyonu, zemin katı Konak Teşhiri, birinci katı Etnoğrafik Eserler seksiyonu ve asma katı İdari Bölüm olarak düzenlenmiştir